*面向量内积坐标公式推导_高中数学:高考总复*(二)??向量

发布于:2021-07-21 18:44:58

什么是向量


在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。


它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。


与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。


向量垂直公式





a,b是两个向量


a=(a1,a2) b=(b1,b2)


a//b:a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数


a垂直b:a1b1+a2b2=0


证明:


①几何角度:


向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1?+y1?)


向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2?+y2?)


(x1,y1)到(x2,y2)的距离:D=√[(x1 - x2)? + (y1 - y2)?]


两个向量垂直,根据勾股定理:L1? + L2? = D?


∴ (x1?+y1?) + (x2?+y2?) = (x1 - x2)? + (y1 - y2)?


∴ x1? + y1? + x2? + y2? = x1? -2x1x2 + x2? + y1? - 2y1y2 + y2?


∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2


∴ x1x2 + y1y2 = 0


②扩展到三维角度:


x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,


那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直


综述,对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。


*面向量加法公式





已知向量AB、BC,再作向量AC,则向量AC叫做AB、BC的和,记作AB+BC


即有:AB+BC=AC。


用坐标表示时,显然有:AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。


这就是说,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差


三角形法则:AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则,简记为:首尾相连、连接首尾、指向终点。


四边形法则:已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB,以AC、AB为邻边作*行四边形ACDB,则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和,这种计算法则叫做向量加法的*行四边形法则,简记为:共起点 对角连。


对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。


向量的加法满足所有的加法运算定律,如:交换律、结合律。


*面向量减法公式





AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则


简记为:共起点、连中点、指被减。


-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。


*面向量数乘公式





实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa。


当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,


当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,


当λ = 0时,λa=0。


用坐标表示的情况下有:λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)


设λ、μ是实数,那么满足如下运算性质:


(λμ)a= λ(μa)


(λ + μ)a= λa+ μa


λ(a±b) = λa± λb


(-λ)a=-(λa) = λ(-a)


|λa|=|λ||a|


*面向量数量积公式





已知两个非零向量a、b,那么a?b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积,记作a?b。


零向量与任意向量的数量积为0。数量积a?b的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。


两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=x1?x2+y1?y2

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