16-17-2微积分I期末试卷答案(A卷)解答

发布于:2021-07-21 06:24:33

2016-2017 学年第二学期《微积分 I-2》期末试卷解答

一、讨论下列级数的敛散性. 如果收敛,说明是条件收敛,还是绝对收敛?(每 小题 4 分,共 12 分) 1.
(?1)n n ; ? n ?1 n?2
?

2.

? (?1)n n 1? ; ? n sin ? ? ? ? n ?1 n? n?2 ? ?
?

3.

n2 [1 ? 2(?1)n ]n . ? 6n n ?1
?

n ? ? 1 n n ? 1 ? 1且 解:1. 由于 lim 发散,级数 发散。 ? ? n ?? 1 n n ?1 n?2 n ? 1 n

-----(1 分)

? x ?x ?1 ? n ? ? , f ?( x) ? ? 0, ( x ? 1) 设 f ( x) ? ,数列 ? ? 单调递减, 2 x ?1 n ? 1 2 x ( x ? 1) ? ? ? ?2

?

又 lim n ??

? n (?1)n n ? 0 ,由莱布尼兹判别法,级数 ? 收敛。 n ?1 n ?1 n?2

-----(3 分) -----(4 分) -----(2 分) -----(4 分)

因此,级数 ?

(?1)n n 条件收敛。 n ?1 n?2
?

? 1 1 n sin ,级数 发散, lim n sin ? 1 ? 0 ? 2. 由于 n?? n n n?2

因此,级数 ? ? ? 3.
n 2 1 ? 2( ?1) n 6n
n

? (?1)n n 1? 发散。 ? n sin ? n ?1 n? n?2 ? ?
?

?

n2 , 2n
2

-----(1 分)
?
? 2n 1 n2 得级数 收敛, ? ? 1 ? n n2 2 n ?1 2
n

? n ? 1? 由比值判别法 lim
n ??

2n ?1

-----(3 分)\

?1 ? n 2 ? ? (?1) n ? ? ? 绝对收敛。 由比较判别法得 ? ? 2 n 3 n ?1

-----(4 分)

二、计算下列各题: (每小题 6 分,共 12 分) 1.

?? | xy | dxdy ,
D

*面区域 D :{( x, y ) | x 2 ? y 2 ? a 2 }, a ? 0 .
1

解:设 D1 为区域 D 在第一象限部分,由对称性

??|xy|dxdy ? 4?? xydxdy
D D1

-----------(2 分)
?
3
a sin2? d? ? ? 3d? 0 2

? 4? d? ? ? cos?sin ?d? ? 4 ? 2
2 0 0
0
4 a2 ? cos2? ? 2 ? ? ? ? 4 ?? ? ? ? . 4 ? ? ?0 ? 4 ?0 2

?

a

-----------(4 分)

?

a

----------(6 分)

2.

??? x
?

2

? y 2 dxdydz ,其中 ? 为 z ? 1 , z ? 4 和 z ? y 2 ? x 2 所围区域.

1 ? z ? 4; ? ? ? : ? 解一: 利用柱坐标截面法, ?( x, y) ? D : 0 ? ? ? z , 0 ? ? ? 2? . ? z
2 2 2 2 3 ??? x ? y dxdydz ? ? dz ?? x ? y dxdy ? ? dz ? d? ? ? d? ? 1 Dz 1 0 0 4 4 2? z

---------(4 分)

? 2? ?

4

1

z2 21? dz ? . 4 2

---------(6 分)

解二: 利用柱坐标投影法:
? 1 ? z ? 4, ( x, y ) ? D1 : 0 ? ? ? 1, 0 ? ? ? 2? ; ?:? 2 2 ? x ? y ? z ? 4, ( x, y ) ? D2 :1 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 2? .

??? x
?

2

? y 2 dxdydz ? ?? x 2 ? y 2 dxdy ? dz ? ?? x 2 ? y 2dxdy ? 2
D1 1 D2

4

4

x ? y2

dz

? ? d? ? ? 3d? ? dz ? ? d? ? ? 3d? ? 2 dz
0 0 1 0 1

2?

1

4

2?

2

4

?

--------(4 分) --------(6 分)

?

3? 21? ? 9? ? . 2 2

2

三、计算下列各题: (每小题 6 分,共 12 分) (1)

??? e
?

| z|

dxdydz ,其中 ?:x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1.

解: 令 ?1:x2 ? y 2 ? z 2 ? 1, z ? 0 ,利用球坐标,
?1:x ? r sin ? cos ? , y ? r sin ? sin ? , z ? r cos ? , 0 ? ? ? 2? , 0 ? ? ?

?
2

, 0 ? r ? 1,

由三重积分的对称性可得:
| z| z r cos ? 2 ??? e dxdydz =2??? e dxdydz =2? d? ? 2 d? ? e r sin ?dr ? ?1 0 0 0 2?

?

1

--------(4 分)

? ?4? ? dr ? 2 er cos? rd( r cos ? )
0 0

1

?

? r2 ? ? 4? ? r e ? 1 dr ? 4? ? rer ? e r ? ? ? 2? . 0 2 ?0 ?
1

?

r

?

1

--------(6 分)

(2)

?

?

z 2 ds ,曲线Г为 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 与 y ? x 的交线.

答案: ? : x ?

1 1 cos t , y ? cos t , z ? sin t 2 2
2? 2 2

? 0 ? t ? 2? ? ,
2

-----------(1 分) ----------(4 分) ----------(6 分)

?

?

z ds ? ?
2

0

2 ? 1 ? ? 1 ? sin t ? ? sin t ? ? ? ? sin t ? ? ? cos t ? dt 2 2 ? ? ? ?
2? 2?

? ? sin tdt ? ?
2 0

0

1 ? cos 2t ? t sin 2t ? dt ? ? ? ? ? ?. 2 4 ?0 ?2

2?

四、(1)确定常数 a, b, 使得

ax ? y x? y?b dx ? 2 dy 为某个二元函数 u ( x, y ) 的全微分; 2 2 x ?y x ? y2

(2)求该二元函数 u ( x, y ) 。(8 分) 解:1. 设 P( x, y ) ? 则
ax ? y x? y ?b , Q ( x, y ) ? ? 2 2 2 x ?y x ? y2

?Q x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 xb ?P x 2 ? y 2 ? 2axy ? , ? 2 2 2 2 ?x ? y x ? y ? ? ? x2 ? y 2 ?

--------(2 分) --------(4 分)

由于 2. 解一:

?Q ?P ? ,我们有 ?2 xy ? 2 xb ? ?2axy ? a ? 1, b ? 0. ?x ?y

3

u ( x, y ) ? ? P( x, 0)dx ? ? Q( x, y )dy ? ?
1 0

x

y

x

1

y? 1 y x ? dx ? ? ? 2 - 2 dy -----(2 分) 2 2 ? 0 x ?x ?y x ?y ?
y

? ln | x | ? ?

y

0

? y x ? y? ?1 - 2 dy ? ln | x | ? ? ln ? x 2 ? y 2 ? ? arctan ? ? 2 2 2 ? x?0 ?2 ?x ?y x ?y ?

1 y ? ln ? x 2 ? y 2 ? ? arctan . 2 x

-----(4 分)

解二: u ( x, y ) ? ?

?u ( x, y ) x? y 1 x dx ? ? 2 dx ? ln( x 2 ? y 2 ) ? arctan ? C ( y ) 2 ?x x ?y 2 y

--------(2 分)
?u ( x, y ) y x ? 2 ? 2 ? C ?( y ) ? Q( x, y ) ? C ?( y ) ? 0 2 ?y x ?y x ? y2

因此,取 C ( y ) ? 0 ,则 u ( x, y ) ? ln( x 2 ? y 2 ) ? arctan .

1 2

x y

--------(4 分)

五、 用格林公式计算曲线积分 I ? ?L ( x 2 ? 2 y )dx ? ( x ? sin 2 y )dy ,其中 L 是点 A(0,0)到点 B(2,0)的*朐仓 y ? 2 x ? x 2 .(8 分) 解: 设从 A(0,0)到 B(2,0)的有向线段为 l .则 L? ? l 为*肭蛎 D : y ? 2 x ? x 2 的正向 边界,由格林公式
I ? ? ? ? ( x 2 ? 2 y )dx ? ( x ? sin 2 y )dy
L

------(2 分)

? ? ? ? ? ( x 2 ? 2 y )dx ? ( x ? sin 2 y )dy ? ? ( x 2 ? 2 y )dx ? ( x ? sin 2 y )dy ? l ? L ?l ?
2 ? ? ? ? ? ?? dxdy ? ? x 2 dx ? 0 ?D ?

--------(6 分) --------(8 分)

?? 8? 8 ? ? ?? ? ? ? ? . ? 2 3? 3 2

4

六、将函数 解:
2

1 展开成 ( x ? 3) 的幂级数。 (8 分) x ?1
2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) 2 x ? 1 x ? 1

1 1 1 ? ( ? ) 2 2? x ?3 4? x ?3 1 1 1 1 ? ? 4 1? x ? 3 8 1? x ? 3 2 4

-----(4 分)

?

? 1 ? x ?3 n 1 ? x ?3 n ? x ?3 x ?3 ( ?1)n ( ) ? ? ( ?1)n ( ) ,? ? 1且 ? 1? ? 4 n ?0 2 8 n ?0 4 4 ? 2 ?
? ? ( ?1)n (
n ?0 ?

1 2
n?2

?

1 2
2 n ?3

)( x ? 3)n, (1 ? x ? 5).

-----(8 分)

七、设 r ? x 2 ? y 2 ? z 2 , 利用 Gauss 公式计算曲面积分

??
?

x y z dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy , 3 r r r

其中 ? 为任意不经过原点的闭曲面,取外侧。(10 分)
? x? ? y? ? z ? ?? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?? 3 ? 1 3x 1 3y 1 3z 2 r r r 解:当 ( x, y, z ) ? (0, 0, 0) 时, ? ? ? 3 ? 5 , ? ? ? 3 ? 5 , ? ? ? 3 ? 5 ,有 ?x r r ?y r r ?z r r
? x? ? y? ? z ? ?? 3 ? ?? 3 ? ?? 3 ? ?r ?? ?r ?? ?r ? ?0. ?x ?y ?z

-----(2 分)

设 ? 围成的空间区域为 ? . 如果 ? 不包含原点,则利用 Gauss 公式,可得

??
?

x y z dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy ? 0 . 3 r r r

-----(5 分) 如果 ? 包含原点,在椭球面内作辅助小球面
?1 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? ? 2 ,取内侧,

-----(7 分)

由高斯公式,可得

5

??
?

x y z x y z dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy ? ?? 3 dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy ? 3 r r r r r r ???1
? 0?

??
?1

x y z dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy 3 r r r

??
?1

x y z 1 dydz ? 3 dzdx ? 3 dxdy ? 3 3 r r r ?

?1?

?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy

------(8 分) ------(10 分)

?

? 3 ??? ?

1

3dv ? 4? .

八、设 ? 是四面体 x ? y ? z ? 1, x ? 0, y ? 0, z ? 0 的表面, 计算 I ?

??

?

1 dS . (10 分) (1 ? x ? y )2

解:设四面体的四个面分别为
?1 : x ? y ? z ? 1, ? 2 : z ? 0, ?3 : x ? 0, ? 4 : y ? 0,

?? (1 ? x ? y )
?1

1

2

dS ? ??

1 1? x 1 1 2 2 1 ? ? ?1? ? ? ?1? dxdy ? 3 ? dx ? dy 2 2 0 0 ( 1 ? x ? y ) ( 1 ? x ? y ) Dxy 1 1? x 1 1 1 ? 0dxdy ? ? dx ? dy 2 0 0 (1 ? x ? y ) (1 ? x ? y )2 Dxy

?? (1 ? x ? y )
?2

1

2

dS ? ??

1 1? z 1 1 1 d S ? 1 ? 0d y d z ? d z dy 2 2 ?? ?? ? ? 0 0 (1 ? x ? y ) (1 ? y ) (1 ? y )2 ?3 Dyz

1 1? z 1 1 1 d S ? 1 ? 0d x d z ? d z dx 2 2 ?? ?? ? ? 0 0 (1 ? x ? y ) (1 ? x ) (1 ? x )2 ?4 Dxz

--------(6 分)

I?

1 1? x 1 1? z 1 1 1 d S ? ( 3 ? 1 ) dx d y ? 2 d z ?? ? (1 ? x ? y )2 ?0 ?0 (1 ? x ? y )2 ?0 ?0 (1 ? y )2 dy

?

3? 3 ? ( 3 ? 1) ln 2. 2

------(10 分)

6

? (2n ? 1) x 2 n (2n ? 1)4n 九、求幂级数 ? 的收敛域以及和函数 S ( x) ,并由此求 ? ( 10 ? n ? 1?! n ? 0 ? n ? 1? ! n ?0
?

分) 解:设 un ?
u ? 2n ? 3? x 2 ? 0, (2n ? 1) x 2 n , lim n ?1 ? lim ? n ? 1?! n?? un n?? ? n ? 2 ?? 2n ? 1?

因此幂级数的收敛域为 (??, ??).
(2n ? 1) x 2 n , x ? (??, ??) 时,设 S ( x) ? ? ? n ? 1?! n ?0
?

------(2 分)

?

x

0

S ( x)dx ? ? ?
n ?0

?

x

0

? (2n ? 1) x 2 n x 2 n ?1 1 ? ?x ? dx ?? ? ? , ( x ? 0) x n ?0 ? n ? 1? ! ? n ? 1?! n ? 0 ? n ? 1? !
2 n ?1

?

1 x2 (e ? 1), ( x ? 0). x
2 1 x2 (e ? 1) ? 2e x , ( x ? 0). 2 x

------(6 分)

等式两边同时求导,得 S ( x) ? ? 由幂级数的表达式得 S (0) ? 1. 令 x ? 2 ,则 ?

------(8 分) ------(10 分)

(2n ? 1)4n 1 7 1 ? S (2) ? ? (e 4 ? 1) ? 2e 4 ? e 4 ? . 4 4 4 n ? 0 ? n ? 1? !
?

? ? sin x, x ? [0, ) ? ? 2 十、 将函数 f ( x) ? ? 在 [0, ? ] 上展开成正弦级数, 并求该级数在 [0, ? ] 上 ? ? 0, x ? [ , ? ] ? ? 2

的和函数 S ( x) .(10 分) 解:将 f ( x) 奇周期延拓为以 2? 为周期的周期函数 F ( x) , F ( x) 满足收敛定理的 条件,当 x ? ? 2k ? 1? , k ? ? 时, F ( x) 的傅立叶级数收敛于 F ( x) 。-----(1 分)
2

?

由于 F ( x) 为奇函数,an ? 0, n ? 0,1, 2,L
b1 ?

------(2 分) ------(3 分)

??

2

?

0

f ( x) sin xdx ?

??

2

?

2 0

1 sin 2 xdx ? , 2

当 n ? 1 时, bn ?

2

?

?

?

0

f ( x) sin nxdx ?

2

?

?

?

2 0

sin x sin nxdx

7

1 1 ? sin ? (n ? 1) x ? sin ? (n ? 1) x ? ? 2 ? ? 2 cos ? (n ? 1) x ? - cos ? (n ? 1) x ? dx ? ? ? ? 0 ?? n ?1 n ?1 ?0
?

?

? ?? ??? + ? ? sin ?(n ? 1) ? sin ?(n ? 1) ? ? ? 0, n ? 2k ? 1, k ? ? ; ? 1 2? 2?? ? ? ? ? ? ? ? (?1) k ?1 4k ?? n ?1 n ?1 , n ? 2k , k ? ? + , ------(7 分) ? ? 2 ? ? ? ? (4k ? 1) ? ?

当 x ? [0, ? ], x ?

?
2

时, f ( x) ? F ( x) [0,? ] ? sin x ? ?
?

1 2

(?1)k ?1 4k sin 2kx. ------(8 分) 2 k ?1 ? (4k ? 1)
?

f ( ? 0) ? f ( ? 0) ? 1 2 当 x ? 时, F ( x) 的傅立叶级数收敛于 2 ? . 2 2 2

?

? ? ?sin x, x ? [0, 2 ); ? 1 ? 因此,在 [0, ? ] 上和函数为 S ( x) ? ? x? ; ? 2 ? 2, ? ? ? 0, x ? ( , ? ]. ? 2

------(10 分)

8


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