高考数学一轮总复* 214 定积分与微积分基本定理(理)练* 新人教A版

发布于:2021-09-13 10:13:32

第十四节

定积分与微积分基本定理(理)
时间:45 分钟 分值:75 分

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 2 x 1.(2013·江西卷)若 S1=?2x dx,S2=?2 dx,S3=?2e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为 ? ?x ?
1 1 1

(

)

A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1
解析 本题考查微积分基本定理. x 2 7 S1=? x dx= |1= . 3 3 ?
2 2 1 3

B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

1 2 S2=?2 dx=lnx|1=ln2-ln1=ln2. x ?
1

S3=?2e dx=e |1=e -e=e(e-1).

x

x 2

2

?1

令 e=2.7,∴S3>3>S1>S2.故选 B. 答案 B

A.3 C.3.5
解析

B.4 D.4.5

答案 C 3.如图所示,图中曲线方程为 y=x -1,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面
1
2

积是(

)

A.?? ?

2

2

?



dx?

0

?

B.?2(x2-1)dx

?0 ?0 ?0

C.?2|x -1|dx

2

D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx

?0

解析 面积 S=?1(1-x )dx+?2(x -1)dx

2

2

?0

?1

=?2|x -1|dx,故选 C.

2

?0

答案 C 4.(2012·湖北卷)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面 积为( )

A. C.

2π 5 3 2

B. D.

4 3 π 2

解析

2

答案 B 5. (2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车, 以速度 v(t) =7-3t+ 位:m)是( 25 (t 的单位: s, v 的单位: m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单 1+t ) 11 B.8+25ln 3 D.4+50ln2

A.1+25ln5 C.4+25ln5 25 解析 令 v(t)=0,7-3t+ =0 1+t

25 ? ? 2 ∴3t -4t-32=0,∴t=4,则汽车行驶的距离为?4v(t)dt=?4?7-3t+ ?dt= 1+t? ? ??
0 0

?7t-3t2+ ? 2 ?
答案 C

3 2 +t ? ?|4 0=7×4- ×4 +25ln5-0=4+25ln5,故选 C. 2 ?

6.(2014·武汉调研)如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于 1 函数 y= (x>0)图象下方的区域(阴影部分), 从 D 内随机取一个点 M, 则点 M 取自 E 内的概

x

率为( A. C. ln2 2

) B. D. 1-ln2 2 2-ln2 2

1+ln2 2

3

解析

答案 C 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2013·湖南卷)若?Tx dx=9,则常数 T 的值为________.
2

?0

T 解析 ∵? x dx= |0= =9,∴T=3. 3 3 ?
T 2 0

x3

T3

答案 3 8.(2014·厦门市质检)计算:?1(x + 1-x )dx=______.
2 2

?0

x1 1 1 π 2 2 2 2 解析 ?1(x + 1-x )dx=?1x dx+?1 1-x dx= 0+ π = + . 3 4 3 4 ? ? ?
0 0 0

3

答案

1 π + 3 4

?1 ? 9.已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0)、B? ,5?、C(1,0).函数 y= ?2 ?
xf(x)(0≤x≤1)的图
象与 x 轴围成的图形的面积为________. 解析 设直线为 y=kx+b,代入 A,B 两点,得 y=10x. 1 ? ?5= k+b, 代入 B,C 两点,则? 2 ? ?0=k+b,

∴k=-10,b=10.

4

? ?10x, ∴f(x)=? ? ?-10x+10,
2

1 0≤x≤ , 2 1 <x≤1. 2

1 10x , 0≤x≤ , ? ? 2 ∴y=xf(x)=? 1 -10x +10x, <x≤1. ? ? 2
2

答案

5 4

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 17 f x 10.若 f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx= ,求?2 dx 的值. 6 ? ? ? x
0 0 1



∵f(x)是一次函数,∴设 f(x)=ax+b(a≠0).

?1 2 ? 1 1 由?1(ax+b)dx=5,得? ax +bx?|0= a+b=5.① 2 2 ? ? ?
0

17 17 2 由?1xf(x)dx= ,得?1(ax +bx)dx= . 6 6 ? ?
0 0

?1 3 1 2? 1 17 即? ax + bx ?|0= . 2 ? 6 ?3
1 1 17 ∴ a+ b= .② 3 2 6 解①②,得 a=4,b=3.∴f(x)=4x+3. 于是?2
1

f x 4x+3 3 dx=?2 dx=?2(4+ )dx x x x ? ? ?
1 1 2 1

=(4x+3lnx)| =8+3ln2-4 =4+3ln2. 11.(2013·日照调研)如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相 等的两部分,求 k 的值.
2

5



抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,

2

所以抛物线与 x 轴所围图形的面积

?x x ? =1-1=1. S=? (x-x )dx=? - ?|1 0 2 3 6 ?2 3? ?0
1 2

2

3

又可得抛物线 y=x-x 与 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0,x′2=1-k, 所以 =∫0 (x-x -kx)dx 2

2

S

1-k

2

?1-kx2-x ?|1-k =? 0 3? ? 2 ?
1 3 = (1-k) . 6 1 1 3 又知 S= ,所以(1-k) = . 6 2 3 3 1 4 于是 k=1- =1- . 2 2 12.设函数 f(x)=x +ax +bx 在点 x=1 处有极值-2. (1)求常数 a,b 的值; (2)求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的图形的面积. 解 (1)由题意知,f′(x)=3x +2ax+b,f(1)=-2,且 f′(1)=0, 解得?
3 2 3 2

3

?1+a+b=-2, ? 即? ?3+2a+b=0, ?

?a=0, ? ?b=-3. ?

(2)由(1)可知,f(x)=x -3x. 作出曲线 y=x -3x 的草图如图,
3

6

所求面积为阴影部分的面积,由 x -3x=0 得曲线 y=x -3x 与 x 轴的交点坐标是(- 3,0),(0,0)和( 3,0),而 y=x -3x 是 R 上的奇函数,所以函数图象关于原点成中心 对称. 所以所求图形的面积为
3

3

3

7


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