唐山市乐亭县九年级上期末数学试卷有答案-名校版

发布于:2021-07-21 11:47:56

2017-2018 学年河北省唐山市乐亭县九年级(上)期末数学试卷

一、选择题(每小题 3 分共 48 分,每个小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意)

1.若反比例函数 y= 的图象经过点(2,3),则它的图象也一定经过的点是( )

A.(﹣3,﹣2) B.(2,﹣3)

C.(3,﹣2) D.(﹣2,3)

2.如图,某河堤迎水坡 AB 的坡比 i=1: ,堤高 BC=5m,则坡面 AB 的长是( )

A.5 m

B.10m

C.15 m

3.某校 10 名篮球运动员的年龄情况,统计如下表:

年龄(岁) 12

13

14

15

D.5 m

人数(名)

2

4

3

1

则这 10 名篮球运动员年龄的中位数为( )

A.12

B.13

C.13.5

D.14

4.在*面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的半径为 4,点 P 的坐标为(3,4),则点 P 的位置为( )

A.在⊙O 外

B.在⊙O 上

C.在⊙O 内

D.不确定

5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,sin∠B= ,则 BC=( )

A.15

B.6

C.9

D.8

6.已知函数 y=(k﹣3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( )

A.k≤4 且 k≠3 B.k<4 且 k≠3 C.k<4

D.k≤4

7.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,若∠BAD=48°,则∠DCA 的大小为( )

A.48°

B.42°

C.45°

D.24°

8.定义一种新运算:a?b=a(a﹣b),例如,4?3=4×(4﹣3)=4,若 x?2=3,则 x 的值是( )

A.x=3

B.x=﹣1

C.x1=3,x2=1

D.x1=3,x2=﹣1

9.如图,△AOB 缩小后得到△COD,△AOB 与△COD 的相似比是 3,若 C(1,2),则点 A 的坐 标为( )

A.(2,4)

B.(2,6)

C.(3,6)

D.(3,4)

10.若正比例函数 y=mx(m≠0),y 随 x 的增大而减小,则它和二次函数 y=mx2+m 的图象大致

是( )

A.

B.

C.

D.

11.若点 A(﹣1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数 y=﹣ 的图象上,则 y1,y2,y3

的大小关系是( )

A.y1<y2<y3

B.y2<y3<y1

C.y3<y2<y1

D.y2<y1<y3

12.如图,⊙O 的半径为 3cm,B 为⊙O 外一点,OB 交⊙O 于点 A,AB=OA,动点 P 从点 A 出发,

以 π cm/s 的速度在⊙O *茨媸闭敕较蛟硕恢芑氐降 A 立即停止.当点 P 运动的时间为

( )s 时,BP 与⊙O 相切.

A.1

B.5

C.1 或 5

D.以上答案都不正确

13.如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,BC 上的点,且 DE∥AC,若 S△BDE=4,S△CDE=16,则 △ACD 的面积为( )

A.64

B.72

C.80

D.96

14.如图,将半径为 4cm 的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为( )

A.2

B.4 cm

C.

D.

15.如图,P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一点,PC 与⊙O 相切,切点为 C,点 D 是⊙O 上一点,

连接 PD.已知 PC=PD=BC.下列结论:(1)PD 与⊙O 相切;(2)四边形 PCBD 是菱形;(3)

PO=CD;(4)弧 AC=弧 AD.其中正确的个数为( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

16.如图,⊙O 的一条弦 AB 垂直*分半径 OC,且 AB=2 ,则这个圆的内接正十二边形的面

积为( )

A.6

B.6

C.12

D.12

二、填空(每小题 3 分共 12 分)

17.在某一时刻,测得一根高为 2m 的竹竿的影长为 1m,同时测得一栋建筑物的影长为 12m,

那么这栋建筑物的高度为

m.

18.已知 x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根,则 a2+2ab+b2 的值为



19.如图,在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三

角形的最小圆面的半径是



20.如图,Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=12,BC=8,P 是△ABC 内部的一个动点,且满足∠PAB=

∠PBC,则线段 CP 长的最小值为



三、(本题满分 8 分)

21.(8 分)每年的 3 月 22 日为“世界水日”,为宣传节约用水,小强随机调查了某小区部

分家庭 3 月份的用水情况,并将收集的数据整理成如下统计图.

(1)小强共调查了

户家庭.

(2)所调查家庭 3 月份用水量的众数为

吨;*均数为

吨;

(3)若该小区有 500 户居民,请你估计这个小区 3 月份的用水量.

四、(本题满分 10 分)

22.(10 分)已知函数图象如图所示,根据图象可得:

(1)抛物线顶点坐标



(2)对称轴为



(3)当 x=

时,y 有最大值是



(4)当

时,y 随着 x 得增大而增大.

(5)当

时,y>0.

五、(本题满分 10 分) 23.(10 分)如图,已知圆锥的底面半径是 2,母线长是 6. (1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC 的度数; (2)如果 A 是底面圆周上一点,从点 A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到 A 点,求这根绳子
的最短长度.

六、(本题满分 10 分) 24.(10 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,过点 B 作 BE⊥AD,垂足为点
E,AB *分∠CAE. (1)判断 BE 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若∠ACB=30°,⊙O 的半径为 2,请求出图中阴影部分的面积.

七、(本题满分 10 分) 25.(10 分)如图,在*面直角坐标系中,一次函数 y1=ax+b(a≠0)的图象与 y 轴相交于点
A,与反比例函数 y2= (c≠0)的图象相交于点 B(3,2)、C(﹣1,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)根据图象,直接写出 y1>y2 时 x 的取值范围; (3)在 y 轴上是否存在点 P,使△PAB 为直角三角形?如果存在,请求点 P 的坐标;若不存
在,请说明理由.

八、(本题满分 12 分) 26.(12 分)如图将小球从斜坡的 O 点抛出,小球的抛出路线可以用二次函数 y=ax2+bx 刻画,

顶点坐标为(4,8),斜坡可以用

刻画.

(1)求二次函数解析式; (2)若小球的落点是 A,求点 A 的坐标; (3)求小球飞行过程中离坡面的最大高度.

2017-2018 学年河北省唐山市乐亭县九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分共 48 分,每个小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意)

1.若反比例函数 y= 的图象经过点(2,3),则它的图象也一定经过的点是( )

A.(﹣3,﹣2) B.(2,﹣3)

C.(3,﹣2) D.(﹣2,3)

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点的横纵坐标之积为 6 的点在反比例函数

图象上,由此分别对各点进行判断.

【解答】解:根据题意得 k=2×3=6,

所以反比例函数解析式为 y= ,

∵﹣3×(﹣2)=6,2×(﹣3)=﹣6,3×(﹣2)=﹣6,﹣2×3=﹣6,

∴点(﹣3,﹣2)在反比例函数 y= 的图象上.

故选:A.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数 y= (k 为常数,k≠0)

的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值 k,即 xy=k. 2.如图,某河堤迎水坡 AB 的坡比 i=1: ,堤高 BC=5m,则坡面 AB 的长是( )

A.5 m

B.10m

C.15 m

D.5 m

【分析】由河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: ,可得到∠BAC=30°,所以求得 AB=2BC,

得出答案.

【解答】解:河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: ,

即 tan∠BAC=

==,

∴∠BAC=30°, ∴AB=2BC=2×5=10m,

∴坡面 AB 的长是,

故选:B.

【点评】此题考查的是解直角三角形的应用,关键是先由已知得出∠BAC=30°,再求出 AB.

3.某校 10 名篮球运动员的年龄情况,统计如下表:

年龄(岁) 12

13

14

15

人数(名)

2

4

3

1

则这 10 名篮球运动员年龄的中位数为( )

A.12

B.13

C.13.5

D.14

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的*均

数)为中位数.

【解答】解:10 个数,处于中间位置的是 13 和 13,因而中位数是:(13+13)÷2=13.

故选:B.

【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定

要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数

字即为所求,如果是偶数个则找中间两个数的*均数.

4.在*面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的半径为 4,点 P 的坐标为(3,4),则点 P 的位置为( )

A.在⊙O 外

B.在⊙O 上

C.在⊙O 内

D.不确定

【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离 d,则 d>r 时,点在圆外;当 d=r 时,点在

圆上;当 d<r 时,点在圆内.

【解答】解:由勾股定理,得

OP=

=5>4,

即 d>r,

点 P 在⊙O 外,

故选:A.

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为 r,点到圆心的距离

为 d,则有:当 d>r 时,点在圆外;当 d=r 时,点在圆上,当 d<r 时,点在圆内.

5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,sin∠B= ,则 BC=( )

A.15

B.6

C.9

D.8

【分析】首先根据正弦函数的定义求得 AC 的长,然后利用勾股定理求得 BC 的长.

【解答】解:∵sinB= = ,

∴AC=AB× =6,

∴直角△ABC 中,BC=

=

=8.

故选:D.

【点评】本题主要考查了解直角三角形、正弦函数的定义;熟练掌握正弦函数的定义是解决

问题的关键.

6.已知函数 y=(k﹣3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( )

A.k≤4 且 k≠3 B.k<4 且 k≠3 C.k<4

D.k≤4

【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数,需对 k 进行讨论.当 k=3 时,函数 y=2x+1

是一次函数,它的图象与 x 轴有一个交点;

当 k≠3,函数 y=(k﹣3)x2+2x+1 是二次函数,当△≥0 时,二次函数与 x 轴都有交点,解

△≥0,求出 k 的范围.

【解答】解:当 k=3 时,函数 y=2x+1 是一次函数,它的图象与 x 轴有一个交点;

当 k≠3,函数 y=(k﹣3)x2+2x+1 是二次函数,

当 22﹣4(k﹣3)≥0,

k≤4

即 k≤4 时,函数的图象与 x 轴有交点.

综上 k 的取值范围是 k≤4.

故选:D.

【点评】本题考察了二次函数、一次函数的图象与 x 轴的交点、一次不等式的解法.解决本

题的关键是对 k 的值分类讨论.

7.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,若∠BAD=48°,则∠DCA 的大小为( )

A.48°

B.42°

C.45°

D.24°

【分析】连接 BD,则可得∠ADB=90°,在△ABD 中求出∠ABD,再由圆周角定理可得出∠DCA.

【解答】解:连接 BD,

∵AB 是⊙O 的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠ABD=90°﹣∠BAD=42°,

∴∠DCA=∠ABD=42°.

故选:B.

【点评】本题考查了圆周角定理的知识,解答本题的关键是熟练记忆圆周角定理及其推论,

并能灵活运用.

8.定义一种新运算:a?b=a(a﹣b),例如,4?3=4×(4﹣3)=4,若 x?2=3,则 x 的值是( )

A.x=3

B.x=﹣1

C.x1=3,x2=1

D.x1=3,x2=﹣1

【分析】先根据新定义得到 x(x﹣2)=3,再把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方

程.

【解答】解:∵x?2=3,

∴x(x﹣2)=3,

整理得 x2﹣2x﹣3=0,

(x﹣3)(x+1)=0,

x﹣3=0 或 x+1=0,

所以 x1=3,x2=﹣1. 故选:D.

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程

的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.

9.如图,△AOB 缩小后得到△COD,△AOB 与△COD 的相似比是 3,若 C(1,2),则点 A 的坐

标为( )

A.(2,4)

B.(2,6)

C.(3,6)

D.(3,4)

【分析】根据位似变换的性质计算即可.

【解答】解:由题意得,点 A 与点 C 是对应点,

△AOB 与△COD 的相似比是 3,

∴点 A 的坐标为(1×3,2×3),即(3,6),

故选:C.

【点评】本题考查的是位似变换的性质,掌握在*面直角坐标系中,如果位似变换是以原点

为位似中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k 是解题的关键.

10.若正比例函数 y=mx(m≠0),y 随 x 的增大而减小,则它和二次函数 y=mx2+m 的图象大致

是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据正比例函数图象的性质确定 m<0,则二次函数 y=mx2+m 的图象开口方向向下, 且与 y 轴交于负半轴.
【解答】解:∵正比例函数 y=mx(m≠0),y 随 x 的增大而减小, ∴该正比例函数图象经过第二、四象限,且 m<0. ∴二次函数 y=mx2+m 的图象开口方向向下,且与 y 轴交于负半轴. 综上所述,符合题意的只有 A 选项. 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数图象、正比例函数图象.利用正比例函数的性质,推知 m<0
是解题的突破口.

11.若点 A(﹣1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数 y=﹣ 的图象上,则 y1,y2,y3

的大小关系是( )

A.y1<y2<y3

B.y2<y3<y1

C.y3<y2<y1

【分析】根据反比例函数的性质判断即可.

D.y2<y1<y3

【解答】解:∵k=﹣3<0, ∴在第四象限,y 随 x 的增大而增大,

∴y2<y3<0, ∵y1>0, ∴y2<y3<y1, 故选:B.

【点评】本题考查的是反比例函数的性质,掌握反比例函数的增减性是解题的关键. 12.如图,⊙O 的半径为 3cm,B 为⊙O 外一点,OB 交⊙O 于点 A,AB=OA,动点 P 从点 A 出发,
以 π cm/s 的速度在⊙O *茨媸闭敕较蛟硕恢芑氐降 A 立即停止.当点 P 运动的时间为 ( )s 时,BP 与⊙O 相切.

A.1

B.5

C.1 或 5

D.以上答案都不正确

【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可.若 BP 与⊙O 相切,则∠OPB=90°,又因为

OB=2OP,可得∠B=30°,则∠BOP=60°;根据弧长公式求得弧 AP 长,除以速度,即可求

得时间.

【解答】解:连接 OP;

∵当 OP⊥PB 时,BP 与⊙O 相切,

∵AB=OA,OA=OP,

∴OB=2OP,∠OPB=90°;

∴∠B=30°;

∴∠O=60°;

∵OA=3cm,

弧 AP=

=π ,

∵圆的周长为:6π , ∴点 P 运动的距离为 π 或 6π ﹣π =5π ; ∴当 t=1 或 5 时,有 BP 与⊙O 相切. 故选:C.

【点评】本题考查的是切线的性质及弧长公式,解答此题时要注意过圆外一点有两条直线与 圆相切,不要漏解.
13.如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,BC 上的点,且 DE∥AC,若 S△BDE=4,S△CDE=16,则 △ACD 的面积为( )

A.64

B.72

C.80

D.96

【分析】由 S△BDE=4,S△CDE=16,得到 S△BDE:S△CDE=1:4,根据等高的三角形的面积的比等于底边

的比求出 = ,然后求出△DBE 和△ABC 相似,根据相似三角形面积的比等于相似比的*

方求出△ABC 的面积,然后求出△ACD 的面积. 【解答】解:∵S△BDE=4,S△CDE=16, ∴S△BDE:S△CDE=1:4, ∵△BDE 和△CDE 的点 D 到 BC 的距离相等,

∴ =,

∴ =, ∵DE∥AC,

∴△DBE∽△ABC, ∴S△DBE:S△ABC=1:25, ∴S△ACD=80. 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,等高的三角形的面积的比等于底边的比,熟
记相似三角形面积的比等于相似比的*方,用△BDE 的面积表示出△ABC 的面积是解题的 关键. 14.如图,将半径为 4cm 的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为( )

A.2

B.4 cm

C.

D.

【分析】连接 AO,过 O 作 OD⊥AB,交 于点 D,交弦 AB 于点 E,根据折叠的性质可知 OE=DE,

再根据垂径定理可知 AE=BE,在 Rt△AOE 中利用勾股定理即可求出 AE 的长,进而可求出

AB 的长.

【解答】解:如图所示,

连接 AO,过 O 作 OD⊥AB,交 于点 D,交弦 AB 于点 E,

∵ 折叠后恰好经过圆心,

∴OE=DE,

∵⊙O 的半径为 4,

∴OE= OD= ×4=2,

∵OD⊥AB,

∴AE= AB,

在 Rt△AOE 中,

AE=

=

∴AB=2AE=4 . 故选:B.

=2 .

【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质,根据题意画出图形, 作出辅助线利用数形结合解答.
15.如图,P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一点,PC 与⊙O 相切,切点为 C,点 D 是⊙O 上一点, 连接 PD.已知 PC=PD=BC.下列结论:(1)PD 与⊙O 相切;(2)四边形 PCBD 是菱形;(3) PO=CD;(4)弧 AC=弧 AD.其中正确的个数为( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【分析】(1)利用切线的性质得出∠PCO=90°,进而得出△PCO≌△PDO(SSS),即可得出∠

PCO=∠PDO=90°,得出答案即可;

(2)利用(1)所求得出:∠CPB=∠BPD,进而求出△CPB≌△DPB(SAS),即可得出答案;

(3)利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA),进而得出 CO= PO= AB;

(4)利用四边形 PCBD 是菱形,即可得到∠ABC=∠ABD,弧 AC=弧 AD. 【解答】解:(1)连接 CO,DO, ∵PC 与⊙O 相切,切点为 C, ∴∠PCO=90°, 在△PCO 和△PDO 中,



∴△PCO≌△PDO(SSS), ∴∠PCO=∠PDO=90°, ∴PD 与⊙O 相切, 故(1)正确;

(2)由(1)得:∠CPB=∠BPD, 在△CPB 和△DPB 中,

∴△CPB≌△DPB(SAS), ∴BC=BD, ∴PC=PD=BC=BD, ∴四边形 PCBD 是菱形, 故(2)正确;
(3)连接 AC, ∵PC=CB, ∴∠CPB=∠CBP, ∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ACB=90°, 在△PCO 和△BCA 中,

∴△PCO≌△BCA(ASA), ∴AC=CO, ∴AC=CO=AO, ∴∠COA=60°, ∴∠CPO=30°, ∴CO= PO= AB, ∴PO=AB, ∵AB 是⊙O 的直径,CD 不是直径, ∴AB≠CD, ∴PO≠DC,

故(3)错误;
(4)由(2)证得四边形 PCBD 是菱形, ∴∠ABC=∠ABD, ∴弧 AC=弧 AD, 故(4)正确; 故选:C.

【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性 质等知识,熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.
16.如图,⊙O 的一条弦 AB 垂直*分半径 OC,且 AB=2 ,则这个圆的内接正十二边形的面 积为( )

A.6

B.6

C.12

D.12

【分析】如图,作辅助线;首先求出该正多边形的中心角;运用勾股定理求出半径 R;求出

△OCD 的面积,即可解决问题.

【解答】解:如图,连接 OA;取 的中点 D,

连接 AD、CD、OD;

过点 D 作 DE⊥OC 于点 E;

∵OF= OA,且∠OFA=90°,

∴∠OAF=30°,∠AOC=60°,∠AOD=∠COD=30°;

∵圆的内接正十二边形的中心角=

=30°,

∴AD、DC 为该圆的内接正十二边形的两边; ∵OC⊥AB,且 AB=2 , ∴AF= ;在△AOF 中,由勾股定理得:

,解得:R=2;

在△ODE 中,∵∠EOD=30°,

∴DE= OD=1,

=1,

∴这个圆的内接正十二边形的面积为 12. 故选:C.

【点评】该题主要考查了正多边形和圆的关系及其应用问题;解题的关键是作辅助线,求出 该正多边形的半径、中心角.
二、填空(每小题 3 分共 12 分) 17.在某一时刻,测得一根高为 2m 的竹竿的影长为 1m,同时测得一栋建筑物的影长为 12m,
那么这栋建筑物的高度为 24 m. 【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解. 【解答】解:设这栋建筑物的高度为 xm, 由题意得, = , 解得 x=24, 即这栋建筑物的高度为 24m. 故答案为:24. 【点评】本题考查了相似三角形的应用,熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键.

18.已知 x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根,则 a2+2ab+b2 的值为 1 . 【分析】由 x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根,可得 1+a+b=0,推出 a+b=﹣1,可得
a2+2ab+b2=(a+b)2=1. 【解答】解:∵x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根, ∴1+a+b=0, ∴a+b=﹣1, ∴a2+2ab+b2=(a+b)2=1. 故答案为 1. 【点评】本题考查一元二次方程的解,完全*方公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题,属于中考常考题型. 19.如图,在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三

角形的最小圆面的半径是



【分析】作 AD⊥BC 于 D,如图,利用等腰三角形的性质得 BD=CD=5,则利用勾股定理可计算 出 AD=12,由于 AD 垂直*分 BC,则△ABC 的外心 O 在 AD 上,连接 OB,设△ABC 的外接圆 ⊙O 的半径为 r,则 OB=OA=r,OD=12﹣r,利用勾股定理可得 52+(12﹣r)2=r2,解得 r= ,

于是可确定能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为 .

【解答】解:作 AD⊥BC 于 D,如图, ∵AB=AC,

∴BD=CD= BC=5,

∴AD=

=12,

∵AD 垂直*分 BC,

∴△ABC 的外心 O 在 AD 上,

连接 OB,设△ABC 的外接圆⊙O 的半径为 r,则 OB=OA=r,OD=12﹣r,

在 Rt△OBD 中,52+(12﹣r)2=r2,解得 r= , ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为△ABC 的外接圆, ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为 . 故答案为 .
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直*分 线的交点,叫做三角形的外心.找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直 *分线的交点.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.
20.如图,Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=12,BC=8,P 是△ABC 内部的一个动点,且满足∠PAB= ∠PBC,则线段 CP 长的最小值为 4 .

【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的⊙O 上,连接 OC 与⊙O 交于点 P,此时 PC 最小,利

用勾股定理求出 OC 即可解决问题.

【解答】解:∵∠ABC=90°,

∴∠ABP+∠PBC=90°,

∵∠PAB=∠PBC,

∴∠BAP+∠ABP=90°,

∴∠APB=90°,

∴点 P 在以 AB 为直径的⊙O 上,连接 OC 交⊙O 于点 P,此时 PC 最小,

在 Rt△BCO 中,∵∠OBC=90°,BC=8,OB=6,

∴OC=

=10,

∴PC=OC﹣OP=10﹣6=4. ∴PC 最小值为 4. 故答案为:4.
【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识,解题的关键是确定点 P 位置,学会求圆外一点到圆的最小、最大距离,属于中考常考题型.
三、(本题满分 8 分) 21.(8 分)每年的 3 月 22 日为“世界水日”,为宣传节约用水,小强随机调查了某小区部
分家庭 3 月份的用水情况,并将收集的数据整理成如下统计图. (1)小强共调查了 20 户家庭. (2)所调查家庭 3 月份用水量的众数为 4 吨;*均数为 4.5 吨; (3)若该小区有 500 户居民,请你估计这个小区 3 月份的用水量.
【分析】(1)根据条形统计图求出调查的家庭总户数即可; (2)根据条形统计图求出 6 月份用水量的*均数,找出众数即可; (3)根据统计图求出*均每户的用水量,乘以 500 即可得到结果. 【解答】解:(1)根据题意得:1+1+3+6+4+2+2+1=20(户), 则小强一共调查了 20 户家庭; 故答案为:20;

(2)根据统计图得:3 月份用水量的众数为 4 吨;

*均数为

=4.5.(吨),

则所调查家庭 3 月份用水量的众数为 4 吨、*均数为 4.5 吨; 故答案为:4,4.5;

(3)根据题意得:500×4.5=2250(吨), 则这个小区 3 月份的用水量为 2250 吨. 【点评】此题考查了条形统计图,加权*均数,众数,以及用样本估计总体,弄清题意是解
本题的关键.

四、(本题满分 10 分) 22.(10 分)已知函数图象如图所示,根据图象可得: (1)抛物线顶点坐标 (﹣3,2) ; (2)对称轴为 x=﹣3 ; (3)当 x= ﹣3 时,y 有最大值是 2 ; (4)当 x<﹣3 时,y 随着 x 得增大而增大. (5)当 ﹣5<x<﹣1 时,y>0.

【分析】(1)由抛物线与 x 轴两个交点的坐标,根据二次函数的对称性可得顶点坐标; (2)根据二次函数的性质可得对称轴; (3)根据抛物线的顶点坐标即可求解; (4)根据二次函数的性质即可求解; (5)抛物线在 x 轴上方的部分对应的 x 的取值即为所求. 【解答】解:(1)∵抛物线与 x 轴交于点(﹣5,0),(﹣1,0),
∴顶点横坐标为 =﹣3,

由图可知顶点纵坐标为 2, ∴顶点坐标为(﹣3,2);

(2)对称轴为 x=﹣3;

(3)当 x=﹣3 时,y 有最大值是 2;

(4)当 x<﹣3 时,y 随着 x 得增大而增大;

(5)当﹣5<x<﹣1 时,y>0. 故答案为(1)(﹣3,2);(2)x=﹣3;(3)﹣3,2;(4)x<﹣3;(5)﹣5<x<﹣1. 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣



),对称轴直线 x=﹣ ,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:

①当 a>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣ 时,y 随 x 的增大而减小;x

>﹣ 时,y 随 x 的增大而增大;x=﹣ 时,y 取得最小值

,即顶点是抛物线的

最低点. ②当 a<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣ 时,y 随 x 的增大而增大;x

>﹣ 时,y 随 x 的增大而减小;x=﹣ 时,y 取得最大值 最高点.

,即顶点是抛物线的

五、(本题满分 10 分) 23.(10 分)如图,已知圆锥的底面半径是 2,母线长是 6. (1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC 的度数; (2)如果 A 是底面圆周上一点,从点 A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到 A 点,求这根绳子
的最短长度.

【分析】(1)根据勾股定理直接求出圆锥的高,再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的

长度关系,求出侧面展开图中∠ABC 的度数即可;

(2)首先求出 BD 的长,再利用勾股定理求出 AD 以及 AC 的长即可.

【解答】解:(1)圆锥的高=



底面圆的周长等于:2π ×2=



解得:n=120°;

(2)连结 AC,过 B 作 BD⊥AC 于 D,则∠ABD=60°. 由 AB=6,可求得 BD=3, ∴AD═3 , AC=2AD=6 , 即这根绳子的最短长度是 6 .

【点评】此题考查了圆锥的计算;得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突 破点.
六、(本题满分 10 分) 24.(10 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,过点 B 作 BE⊥AD,垂足为点

E,AB *分∠CAE. (1)判断 BE 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若∠ACB=30°,⊙O 的半径为 2,请求出图中阴影部分的面积.
【分析】(1)连接 BO,根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2,根据角*分线的定义得到∠1= ∠BAE,等量代换得到∠2=∠BAE,根据余角的性质得到∠EBO=90°,于是得到结论;
(2)根据已知条件得到△ABO 是等边三角形,得到∠2=60°,解直角三角形得到 BE= ,于 是得到结论.
【解答】解:(1)BE 与⊙O 相切, 理由:连接 BO,∵OA=OB, ∴∠1=∠2, ∵AB *分∠CAE, ∴∠1=∠BAE, ∴∠2=∠BAE, ∵BE⊥AD, ∴∠AEB=90°, ∴∠ABE+∠BAE=90°, ∴∠ABE+∠2=90°,即∠EBO=90°, ∴BE⊥OB, ∴BE 与⊙O 相切;
(2)∵∠ACB=30°, ∴∠AOB=60°, ∵OA=OB, ∴△ABO 是等边三角形, ∴∠2=60°,OA=OB=AB=2,

∴∠ABE=30°,

在 Rt△ABE 中,cos∠ABE=



∴BE= , ∴AE=1,

∴S 阴影=S ﹣S 四边形 AEBO = 扇形 AOB



【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂 直即可.也考查了扇形的计算.
七、(本题满分 10 分) 25.(10 分)如图,在*面直角坐标系中,一次函数 y1=ax+b(a≠0)的图象与 y 轴相交于点
A,与反比例函数 y2= (c≠0)的图象相交于点 B(3,2)、C(﹣1,n). (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)根据图象,直接写出 y1>y2 时 x 的取值范围; (3)在 y 轴上是否存在点 P,使△PAB 为直角三角形?如果存在,请求点 P 的坐标;若不存
在,请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点 C 坐标,最后用再用待定 系数法求出一次函数解析式;

(2)利用图象直接得出结论; (3)分三种情况,利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论. 【解答】解:(1)

把 B(3,2)代入

得:k=6

∴反比例函数解析式为:

把 C(﹣1,n)代入

,得:

n=﹣6 ∴C(﹣1,﹣6)

把 B(3,2)、C(﹣1,﹣6)分别代入 y1=ax+b,得: 所以一次函数解析式为 y1=2x﹣4

,解得:

(2) 由图可知,当写出 y1>y2 时 x 的取值范围是﹣1<x<0 或者 x>3.

(3)y 轴上存在点 P,使△PAB 为直角三角形 如图,

过 B 作 BP1⊥y 轴于 P1, ∠B P1 A=0,△P1AB 为直角三角形 此时,P1(0,2) 过 B 作 BP2⊥AB 交 y 轴于 P2 ∠P2BA=90,△P2AB 为直角三角形 在 Rt△P1AB 中,

在 Rt△P1 AB 和 Rt△P2 AB


∴P2(0, )
综上所述,P1(0,2)、P2(0, ). 【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,利用图象确定函数值满足条件
的自变量的范围,直角三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数,解(1)的关键是待定 系数法的应用,解(2)的关键是利用函数图象确定 x 的范围,解(3)的关键是分类讨论.

八、(本题满分 12 分) 26.(12 分)如图将小球从斜坡的 O 点抛出,小球的抛出路线可以用二次函数 y=ax2+bx 刻画,

顶点坐标为(4,8),斜坡可以用

刻画.

(1)求二次函数解析式; (2)若小球的落点是 A,求点 A 的坐标; (3)求小球飞行过程中离坡面的最大高度.

【分析】(1)由抛物线的顶点坐标为(4,8)可建立过于 a,b 的二元一次方程组,求出 a, b 的值即可;

(2)联立两解析式,可求出交点 A 的坐标; (3)设小球飞行过程中离坡面距离为 z,由(1)中的解析式可得到 z 和 x 的函数关系,利
用函数性质解答即可. 【解答】解:(1)∵抛物线顶点坐标为(4,8),





解得:



∴二次函数解析式为:y=﹣ x2+4x; (2)联立两解析式可得:



解得: 或



∴点 A 的坐标是(7, ); (3)设小球离斜坡的铅垂高度为 z,则 z=﹣ x2+4x﹣ x=﹣ (x﹣3.5)2+ , 故当小球离点 O 的水*距离为 3.5 时,小球离斜坡的铅垂高度最大,最大值是 . 【点评】本题考查了二次函数的应用,解答本题的关键是仔细审题,理解坡面的高度是解题
关键,注意掌握配方法求二次函数最值得应用,难度一般.


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