D11_6高斯公式 通量与散度

发布于:2021-09-13 12:58:10

第六节 高斯公式 通量与散度
Green 公式 一、高斯公式
推广

第十一章

Gauss 公式

*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度

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一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲
面? 所围成, ? 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 ? 上有连续的一阶偏导数 , 则有

? ?? P d y d z ? Q d z d x ? Rdx d y
?

(Gauss 公式)

下面先证: ?R ? R d x d y d x d y d z ?? ???? ? z ?
高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 设
为XY型区域 , ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 , ?1 : z ? z1 ( x, y ) ,

? 2 : z ? z2 ( x, y ), 则 z ?R z2 ( x, y ) ? R xd y ? dz ???? ? z d x d y d z ? ??Dxd z1 ( x , y ) ? z y
? ??
Dx y

?2

? R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
? R( x, y, z1 ( x, y ) ) ?d x d y
2 1 3

?
Dx y

?3 ?1

y

x

??? R d x d y ? ? ??? ? ??? ? ??? ? R d x d y
? ?? R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy ? ?? R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
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?R 所以 ???? ? z d x d y d z ? ??? R d x d y 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . ?P d x d y d z ? ?? Pd y d z 类似可证 ??? ? ?x ? ?Q ???? ? y d x d y d z ? ??? Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式: ? P ?Q ? R ???? ? ? x ? ? y ? ? z ?d x d ydz ? ?? P d y d z ? Q d z d x ? R d xdy
?
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例1. 用Gauss 公式计算 其中? 为柱面 及*面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ? ( y ? z ) x, Q ? 0, R ? x ? y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ??? ( y ? z ) d x d y d z (用柱坐标)
?

9? ? ? d ? ? rd r ? (r sin ? ? z ) d z ? ? 0 0 0 2 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2? 1 3
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? ??? (r sin ? ? z )r dr d ? d z
?

o 1 x

y

例2. 利用Gauss 公式计算积分

z
其中 ? 为锥面 x 2 ? y 2 ? z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面

?1 h h
o x

?
y

2 2 2 ?1: z ? h, ( x, y ) ? D x y : x ? y ? h , 取上侧

记 ?, ?1所围区域为?, 则
I ? ( ??
? ? ?1 ? ?1

在 ?1 上 ? ? ? ? ? , ? ? 0 2

? ?? )( x 2 cos ? ? y 2 cos ? ? z 2 cos ? ) d S
2
xy

? 2??? ( x ? y ? z ) d x d y d z ? ?? D h d x d y
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I ? 2??? ( x ? y ? z ) d xdydz ? ??
?

Dx y

h d xd y
z

2

利用重心公式, 注意 x ? y ? 0
4 ? 2??? z d x d ydz ? ? h
?

?1 h h
o x

?
y

? 2? z ? ? z d z ? ? h
2
0

h

4

1 4 ?? ?h 2

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2 2 例3. 设? 为曲面 z ? 2 ? x ? y , 1 ? z ? 2 取上侧, 求

I ? ?? ( x 3 z ? x) d y d z ? x 2 yz d z d x ? x 2 z 2 d x d y. ? z 解: 作取下侧的辅助面 2 2 2 ( x , y ) ? D : x ? y ?1 ?1 : z ? 1 xy ? 1 用极坐标 ?1 I ? ?? ? ?? 用柱坐标
? ? ?1 ?1

? ??? d x d ydz ? (?1) ?? (? x ) d x d y
13? ? 12

2

o
x

1y

??

? 2?
0

d?

?0

1

Dxy

dr

??

2? 0

cos ? d ?

2

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在闭区域 ?上具有一阶和 ?v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P?u 2 2 2 ?x ?? v ? v ? v? ?d x d y d z ? ? ?v ???? u ? ? ?x2 ? y 2 ?z 2 ? Q?u ? ? ?y ?v ?v ? ?v ? ?v ? ?? u ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? d S R?u ? ?y ?z ? ?x ? ?z ? u ? v ?u ? v ?u ? v ? ? ?d x d y d z ? ??? ? ? ?x ?x ?y ?y ?z ?z 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. ? P ? Q ? R 分析: 高斯公式 ???? ? ? x ? ? y ? ? z ?d x d ydz 例4. 设函数

? ?? P d y d z ? Q d z d x ? R d x d y
?
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?v ?v ?v , Q ? u , R ? u , 由高斯公式得 证 :令 P ? u ?x ?y ?z ? ?2v ?2v ?2v ? ? ? ? ? ? ?x2 ? y 2 ?z 2 ? ? ? ?v ?v ?v ?x ?y ?z

?v ?v ? ?v ? ? ?? u ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? d S ? ? ?x ?y ?z ?
移项即得所证公式.(见 P171)
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*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , ? 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; ? 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区 域.
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2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, ?为G内任一闭曲面, 则

??? P d y d z ? Q d z d x ? R d x d y ? 0



的充要条件是: ? P ?Q ? R ② ? ? ? 0 , ( x, y , z ) ? G ?x ? y ?z 证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件. “必要性”. 用反证法已知①成立 . , 假设存在 M 0 ? G, 使 ? P ?Q ? R ? ? ? ?M 0 ? 0 ?x ? y ?z
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因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域

? ( M 0 ) ? G, 使在 ? ( M 0 ) 上,
? P ?Q ? R ? ? ?0 ?x ? y ?z

设 ? ( M 0 ) 的边界为 ?? 取外侧, 则由高斯公式得

???? P d y d z ? Q d z d x ? R d x d y
? ???
?( M 0 )

?

? P ?Q ? R ?d x d y d z ? ? ?x ? y ?z

?0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
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三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为

v( x, y, z ) ? P( x, y, z ) i ? Q( x, y, z ) j ? R( x, y, z ) k
设? 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面? 的流量为

? ? ?? P d y d z ? Q d z d x ? Rdx d y
?

?

由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为

? ? ??

?

? P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? ? d S

? ?? v ? n d S
?
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若? 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过? 的流量为

? ? ?? P d y d z ? Q d z d x ? Rdx d y
?

n n

当? > 0 时, 说明流入? 的流体质量少于
流出的, 表明? 内有泉; 当? < 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 表明

? 内有洞 ;
当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 .

根据高斯公式, 流量也可表为

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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设? 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为?, 在③式两边同除以? 的体积 V, 并令? 以 任意方式缩小至点 M 则有 ? lim ?? M V

? P ?Q ? R ?M ?? ? ? ?x ? y ?z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
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定义: 设有向量场

A( x, y, z ) ? P( x, y, z ) i ? Q( x, y, z ) j ? R( x, y, z ) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ? 是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称

有向曲面 ? 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处

??? A ? n d S 为向量场 A 通过

? P ?Q ? R 记作 ? ? div A ?x ? y ?z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
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说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且

div A ? 0 表明该点处有正源, div A ? 0 表明该点处有负源, div A ? 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A ? 0 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v ? (v x , v y , v z ) (其中v x , v y , v z 为常数 ),

div v ? 0
故它是无源场.
P16 目录 上页 下页 返回 结束

*例5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 q q ( r ? 0) E ? 3 r ? 3 ( x, y , z ) r r

求 div E . ? ? x ? ? ? y? ? ? z ?? ? ? 3? ? ? 3?? ? 3? ? 解: div E ? q ? ? ?x ? r ? ? y ? r ? ?z ? r ? ?
? r 2 ? 3x 2 r 2 ? 3 y 2 r 2 ? 3z 2 ? ? q? ? ? ? 5 5 5 r r ? r ? ( r ? 0) ?0
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.

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内容小结
1. 高斯公式及其应用

公式:

??? P d y d z ? Q d z d x ? R d x d y ? P ?Q ? R ? ? ??? ? ? ? d xd yd z ? ?x ? y ?z
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)

应用: (1) 计算曲面积分

(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:

??? P d y d z ? Q d z d x ? R d x d y ? 0
? P ?Q ? R ? ? ?0 ?x ? y ?z
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2. 通量与散度
设向量场 A ? ( P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续

偏导数, 则
向量场通过有向曲面 ? 的通量为

??? A ? n d S
G 内任意点处的散度为 ? P ?Q ? R div A ? ? ? ?x ? y ?z

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思考与练*
所围立体,

? 为?
判断下列演算是否正确?

x3 y3 z3 (1) ?? 3 d y d z ? 3 d z d x ? 3 d x d y ?r r r

?

??? 2 2 2 2 3 1 ? d v ? 4 ? R 3 ( x ? y ? z ) d v ? R ???? R ????
1 R3
3

x 3 d y d z ? y 3 d z d x ? z 3dx d y

x3 y3 z3 (2) ?? 3 dy d z ? 3 d z d x ? 3 d x d y ?r r r ? x3 ? y3 ? z3 ? ??? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ?x r ?y r ?z r
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??dv ? ?
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备用题 设 ? 是一光滑闭曲面, 所围立体 ? 的体
积为V, ? 是 ? 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 的夹角, 试证

证: 设 ? 的单位外法向量为 则

?0 ?0 n ?r x y z cos? ? ? ? 0 ? cos ? ? cos ? ? cos ? 0 r r r n ? r 1 ? ?? r cos? d S 3 ? 1 ? ??? 3 dv ? V 3 ?
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